\documentclass[russian,a4paper,draft]{article}
\usepackage[cp1251]{inputenc}
\usepackage{amsmath,amssymb,amsthm,babel}

\hoffset=0pt \voffset=0pt \oddsidemargin=0pt \evensidemargin=0pt
\topmargin=0pt \headheight=5mm \headsep=5mm \textheight=217mm
\textwidth=160mm \marginparsep=0pt \marginparwidth=0pt
\footskip=15mm

\newcommand{\nequiv}{\equiv\negthickspace\negthickspace\negthickspace/\;\;}
\newcommand{\sgn}{\mathrm{sgn}\,}
\providecommand{\abs}[1]{\left\lvert#1\right\rvert}
\providecommand{\norm}[1]{\left\lVert#1\right\rVert}

\begin{document}

\begin{enumerate}
\item
Какова мощность всех непрерывных функций на \([a,b]\)?


\item
Доказать, что подмножество \(M\subset C[0,1]\) такое, что \(
M=\{f(x)\,|\,A\leqslant f(x)\leqslant B\}, \)
--- замкнутое в \(C[0,1]\).

\item
Является ли множество \(M\) непрерывных функций, удовлетворяющих
условию \(A<f(x)<B\) открытым в \(C[0,1]\)?

\item
Доказать, что пространство \(m\) ограниченных последовательностей
с метрикой \[\rho(x,y)=\sup\limits_{i}\lvert x_{i}-y_{i}\rvert\]
является полным пространством.

\item
Пусть \(A\) --- отображение \(n\)-мерного пространства в себя,
задаваемое системой линейных уравнений
\(y_i=\sum\limits_{j=1}^{n}(a_{ij}x_{j}+b_j)\) или \(Ax=Y-b\). В
пространстве введена метрика двумя способами:
\begin{enumerate}
\item
\(\rho(x,y)=\max\limits_{i}\lvert x_{i}-y_{i}\rvert\), и
\item
\(\rho(x,y)=\sum\limits_{i=1}^{n}\lvert x_{i}-y_{i}\rvert\),
\end{enumerate}
где
\(x=(x_{1},\,x_{2},\,\dotsc,\,x_{n}),\;y=(y_{1},\,y_{2},\,\dotsc,\,y_{n})\).
Доказать, что условие
\[
\sum_{i=1}^{n}\lvert a_{ij}\rvert\leqslant\alpha<1,\;
j=1,\,\dotsc,\,n
\]
является необходимым и достаточным, чтобы отображение являлось
сжатием.

\item
Доказать, что любое измеримое множество \(E\) на прямой с мерой
\(\lvert E\rvert=p>0\) содержит измеримое подмножество меры
\(q,\;0<q<p\).

\item
Пусть \(E\) --- измеримое на сегменте \([0,1]\) и для любого
интервала \(\Delta\) имеет место неравенство \(\lvert
E\cap\Delta\rvert\leqslant \alpha\lvert\Delta\rvert,\;\alpha<1\).
Доказать, что \(\lvert E\rvert=0\).

\item
Пусть \(A_1\) и \(A_2\) --- измеримые подмножества сегмента
\([0,1]\) и \(\lvert A_1\rvert+\lvert A_2\rvert>1\). Доказать, что
\(\lvert A_1\cap A_2\rvert>0\).

\item
Может ли открытое неограниченное множество иметь конечную меру?

\item
Пусть замкнутое множество имеет конечную меру. Может ли оно быть
неограниченным?

\item
Доказать, что непрерывные функции на \([0,1]\) эквивалентны тогда
и только тогда, когда они равны.

\item
Доказать, что непрерывные на измеримом множестве \(E\) функции
являются измеримыми.

\item
Доказать, что если \(f(x)\) имеет производную на сегменте
\([a,b]\), то производная \(f'(x)\) измерима.

\item
Привести пример ограниченной, измеримой функции, не эквивалентной
никакой функции, интегрируемой по Риману.

\item
Привести пример неизмеримой функции. Доказать, что множество и его
характеристическая функция измеримы или не измеримы одновременно.

\item
Будет ли измерима функция \(f(x)=\frac{1}{x(x-1)}\) на \([0,1]\)?

\item
Будет ли измерима функция
\[f(x)=\begin{cases}n,&x=\frac{m}{n}\in\mathbb
Q,\;(m,n)=1,\\1,&x\in\mathbb R\setminus\mathbb Q\,?\end{cases}\]

\item
Пусть \(E\) --- неизмеримое множество на интервале \(\left(0,\frac{\pi}{2}\right)\). Будет ли функция \[f(x)=\begin{cases}0,&x\in\complement E,\\
\sin x,&x\in E\end{cases}\] измеримой?

\item
Привести пример ограниченной функции, разрывной в каждой точке
отрезка \([a,b]\) и интегрируемой по Лебегу. Будет ли эта функция
интегрируема по Риману?

\item
Привести пример функции, интегрируемой по Лебегу на \([0,1]\), но
неограниченной на любом отрезке \([\alpha,\beta]\subset[0,1]\).

\item
При каких \(\alpha\) и \(\beta\) функция \(f(x)=x^{\alpha}\sin
(x^{\beta})\) интегрируема по Лебегу на \([0,1]\)?

\item
Доказать, что если \(f(x)\geqslant 0\) на множестве \(E\) и
\(C>0\), то функция удовлетворяет неравенству Чебышева: \(\lvert
E[f(x)\geqslant
C]\rvert\leqslant\frac{1}{C}\int\limits_{E}f(x)dx\).

\item
Существует ли интеграл Лебега от
\(f(x)=\frac{1}{\sqrt{x}\sqrt{1-x}}\) на \([0,1]\)?

\item
Будет ли функция \(f(x)\) интегрируема по Лебегу на
\([0,+\infty)\), если
\[
f(x)=\begin{cases}\frac{1}{x^{\alpha}},& x\in\mathbb R\setminus\mathbb Q,\\
0,&x\in\mathbb Q\,?\end{cases}
\]

\item
При каких \(\alpha\) и \(\beta\) существует интеграл Лебега на
\([0,+\infty)\) от функции
\[
f(x)=x^{\alpha}\ln^{\beta}x?
\]

\item
Существует ли интеграл Лебега на \([2,+\infty)\) от функции
\(f(x)=\frac{1}{x\ln^{2}x}\)?

\item
Привести пример последовательности, сходящейся по мере на
измеримом \(E\), но не сходящейся ни в одной точке множества
\(E\)?

\item
Показать, что из сходимости почти всюду не следует сходимости в среднем. Рассмотреть пример: \[f_{n}(x)=\begin{cases}n,&0<x<\frac{1}{n},\\
0,&\text{иначе.}\end{cases}\]

\item\label{29}
Показать, что из сходимости в среднем не следует сходимости почти
всюду. Пример: для любого \(n=2^{k}+m\), где \(0\leqslant
m<2^{k}\) определим

\[
f_{n}(x)=\begin{cases}1,&\frac{m}{2^{k}}\leqslant
x\leqslant\frac{m+1}{2^{k}},\\0,&x\notin\left[\frac{m}{2^{k}},\frac{m+1}{2^{k}}\right].\end{cases}
\]

\item
Показать, что из сходимости по мере не следует сходимости почти
всюду. Рассмотреть пример задачи \ref{29}.

\item
Показать, что из сходимости по мере не следует сходимости в
среднем. Пример: при \(n=2^{k}+m\)
\[
f_{n}(x)=\begin{cases}2^{k},&\frac{m}{2^{k}}\leqslant x\leqslant\frac{m+1}{2^{k}},\\
0,&x\notin\left[\frac{m}{2^{k}},\frac{m+1}{2^{k}}\right].\end{cases}
\]

\item
Показать, что если мера множества \(E\) бесконечна, то из
сходимости почти всюду не следует сходимость по мере. Пример:
\[f_{n}(x)=\begin{cases}
1, & n\leqslant x\leqslant n+1, \\
0, & \text{иначе.}
\end{cases}\]

\item
Показать, что из сходимости в \(L_1[0,1]\) не следует сходимости в
\(L_2[0,1]\). Пример: \[f(x)=\begin{cases}
n^{\frac{3}{2}}, & x\in\left[\frac{1}{n},\frac{1}{n-1}\right], \\
0, & x\notin\left[\frac{1}{n},\frac{1}{n-1}\right].
\end{cases}\]

\item
Доказать полноту пространства \(C[0,1]\).

\item
Будет ли полным пространство многочленов на сегменте \([0,1]\),
если метрика вводится по формуле
\(\rho(x,y)=\max\limits_{0\leqslant t\leqslant 1}\lvert
x(t)-y(t)\rvert\).

\item
Доказать, что пространство \(\ell_2\) сепарабельно.

\item
Пусть \(A\) --- компактное множество в банаховом пространстве
\(X\). Доказать, что для любого \(x\in X\) найдется точка \(y\in
A\) такая, что \(\rho(x,A)=\lVert x-y\rVert\).

\item
Если на метрическом компакте \(\rho(Ax,Ay)<\rho(x,y)\) для любых
\(x,\,y\), принадлежащих компакту, то оператор \(A\) имеет
единственную неподвижную точку. Существенно ли условие
компактности?

\item
Доказать, что множество непрерывно дифференцируемых на \([0,\,1]\)
функций \(x(t)\) таких, что \(\lvert x(0)\rvert\leqslant K_1;\;
\int\limits_0^1 \lvert x'(t)\rvert^2 dt\leqslant K_2\), где
\(K_1,\,K_2>0\) --- постоянные, компактно в пространстве
\(C[0,1]\).

\item\label{40}
Будет ли компактом множество всех степеней \(x^n,\;n=1,2,\dotsc\)
в пространстве \(C[0,1]\)?

\item
Доказать, что не всякое ограниченное множество в метрическом
пространстве вполне ограничено.

\item
Доказать, что в конечномерном пространстве всякое ограниченное
множество относительно компактно.

\item
Доказать, что следующие функционалы в пространстве \(C[-1,1]\)
являются линейными и непрерывными и найти их нормы:
\begin{enumerate}
\item
\(f(x)=\frac{1}{3}[x(-1)+x(1)]\);
\item
\(f(x)=\int\limits_{-1}^0 x(t)dt-\int\limits_0^{1} x(t)dt\);
\item
\(f(x)=\int\limits_{-1}^1 tx(t)dt\).
\end{enumerate}

\item
Пусть \(X\) --- множество функций \(f(x)\), определенных на всей
вещественной прямой, каждая из которых равна нулю вне некоторого
конечного интервала. Введем норму, полагая
\[\norm{f}=\max\limits_x\abs{f(x)}.\] Будет ли пространство
банаховым?

\item
Является ли пространство непрерывных на отрезке \([0,1]\) функций
гильбертовым пространством, если скалярное произведение задается
следующим образом: \((f,g)=\int\limits_0^1 f(x)\cdot g(x)dx\)?

\item
Показать, что если в гильбертовом пространстве \(H\)
последовательность \(x_n\) слабо сходится к \(x\) и
\(\norm{x_n}\rightarrow\norm{x}\;(x\rightarrow\infty)\), то
последовательность \(x_n\) сходится сильно.

\item
Доказать, что любой линейный непрерывный функционал в гильбертовом
пространстве \(H\) достигает нормы на замкнутом единичном шаре.

\item
Найти норму оператора \(A\), действующего в пространстве
\(C[0,1]\) (или в пространстве \(L_2[0,1]\)): \(Ax=t\cdot x(t)\).

\item
Определить оператор \(A^{-1}\) и нормы операторов \(A\) и
\(A^{-1}\), если \(A:\ell_2\rightarrow\ell_2\), где
\[A(x_1,\,\dotsc,\,x_n,\,\dotsc)=
(0,\,x_1,\,\dotsc,\,x_n,\,\dotsc).\]

\item
Определить спектр оператора \(A\), действующего в пространстве
\(\ell_2\):
\[
A(x_1,\,\dotsc,\,x_n,\,\dotsc)=\left(\frac{x_1}{1},\,\frac{x_2}{2},\,\frac{x_3}{3},\,\dotsc,\,\frac{x_n}{n},\,\dotsc\right).
\]

\item
В пространстве \(C[0,1]\) задан оператор \(A\):
\begin{enumerate}
\item
\(Ax(t)=t\cdot x(t)\);
\item
\(Ax(t)=\int\limits_0^t x(\tau)d\tau\);
\item
\(Ax(t)=x(0)+tx(1)\).
\end{enumerate}
Будет ли оператор \(A\) компактным?

\item
В пространстве \(\ell_2\) задан оператор \(A\):
\[
A(x_1,\,x_2,\,\dotsc,\,x_n,\,\dotsc)=\left(c,\,\frac{x_1}{1},\,\frac{x_2}{2},\,\dotsc,\,\frac{x_n}{n},\,\dotsc\right).
\]
Доказать, что оператор \(A\) компактен и найти его спектр.

\item
Привести примеры линейных, но не непрерывных функционалов.

\end{enumerate}

\end{document}
