1.1. ДВУМЕРНОЕ УРАВНЕНИЕ ЛАПЛАСА В ПОЛЯРНЫХ КООРДИНАТАХ 

>

 

Решения краевых задач для уравнения Лапласа 

Δu = 0 

для круга и кольца могут быть найдены методом разделения
переменных. 

Äëÿ этого будем èñïîëüçовать ïîëÿðíóþ ñèñòåìó 

êîîðäèíàò (): 

0 < r < ∞, 

0 < φ < 2π, 

à òàêæå âîñïîëüçóåìñÿ ïàêåòîì "VectorCalculus" 

>

 

äëÿ ïîëó÷åíèÿ â ïîëÿðíîé ñèñòåìå êîîðäèíàò 

>

 

(1.1.1)

 

âûðàæåíèÿ äëÿ îïåðàòîðà Ëàïëàñà. 

Óðàâíåíèå Ëàïëàñà â ïîëÿðíîé ñèñòåìå êîîðäèíàò èìååò
âèä: 

>

 

(1.1.2)

 

1.2. РАЗДЕЛЕНИЕ ПЕРЕМЕННЫХ И ОБЩЕЕ РЕШЕНИЕ 

Óðàâíåíèå Ëàïëàñà äîïóñêàåò ðàçäåëåíèå ïåðåìåííûõ. Ñðåäñòâàми MAPLE ïîëó÷èм ðàçäåëåííûå óðàâíåíèÿ: 

>

 

(1.2.1)

 

Ñäåëàåì çàìåíó êîíñòàíòû ðàçäåëåíèÿ ïåðåìåííûõ: 

_c₁ = n² 

è ðåøèì ðàçäåëåííûå óðàâíåíèÿ. 

>

 

(1.2.2)

 

Ðåøåíèå óãëîâîãî óðàâíåíèÿ: 

>

 

(1.2.3)

 

>

 

(1.2.4)

 

Çàìåòèì, ÷òî это ðåøåíèå äëÿ óãëîâîé ôóíêöèè Φ(φ) áóäåò óäîâëåòâîðÿòü óñëîâèþ ïåðèîäè÷íîñòè äëÿ öåëûõ çíà÷åíèé n. 

Ðåøåíèå ðàäèàëüíîãî óðàâíåíèÿ: 

à)  n ≠ 0: 

>

 

(1.2.5)

 

>

 

(1.2.6)

 

á) n= 0: 

>

 

(1.2.7)

 

>

 

(1.2.8)

 

Ñëåäîâàòåëüíî, óãëîâîå è ðàäèàëüíîå óðàâíåíèÿ áóäóò èìåòü ðåøåíèÿ (ïîñòîÿííûå êîýôôèöèåíòû ïåðåîáîçíà÷åíû): 

>

 

(1.2.9)

 

>

 

(1.2.10)

 

>

 

(1.2.11)

 

Таким образом, оáùåå ðåøåíèå двумерного óðàâíåíèÿ Ëàïëàñà в ïîëÿðíых êîîðäèíàòах èìååò âèä: 

>

 

(1.2.12)

 

2.1. ПОСТАНОВКА ПЕРВОЙ КРАЕВОЙ ЗАДАЧИ ДЛЯ УРАВНЕНИЯ ЛАПЛАСА (ВНУТРИ КРУГА) 

Рассмотрим первую краевую задачу для уравнения Лапласа внутри круга (внутренняя задача Дирихле для круга). 

Ýòî çíà÷èò, ÷òî íåîáõîäèìî íàéòè ôóíêöèþ u, êîòîðàÿ óäîâëåòâîðÿåò внутри круга радиуса R₀ óðàâíåíèþ Ëàïëàñà: 

Δu = 0 

è ãðàíè÷íому óñëîâèю íà ãðàíèöе Σ круга: 

u(Σ) = f, 

где f - çàäàííая íà ãðàíèöå ôóíêöèя, Σ - окружность радиуса R₀. 

Общее решения двумерного уравнения Лапласа в полярных координатах (), найденное методом разделения переменных в разделе «Введение», имеет вид: 

>

 

(2.1.1)

 

Ïðè ýòîì ãðàíè÷íые óñëîâèя ôîðìóëèðóюòñÿ â âèäå: 

1) Требование ограниченности решения u в начале координат: 

u < ∞; 

2) Çíà÷åíèå ôóíêöèè u íà ãðàíèöå êðóãà ðàâíî: 

u(R₀,φ) = f(φ). 

Èç ñèììåòðèè çàäà÷è ñëåäóåò òàêæå óñëîâèå ïåðèîäè÷íîñòè ôóíêöèè u(r,φ) ïî угловой переменной . 

2.2. УЧЕТ ГРАНИЧНЫХ УСЛОВИЙ (ВНУТРИ КРУГА) 

Òåïåðü ó÷òåì íàëîæåííûå íà ôóíêöèþ u(r,φ) ãðàíè÷íûå óñëîâèÿ. 

1) Ограниченность решения в нуле означает равенство нулю коэффициентов: 

B2₀ = 0, 

B2_n = 0, 

откуда имеем (переопределяя постоянные A1_n, A2_n с учетом B1_n): 

>

 

 

 

	(2.2.1)

 

>

 

 

 

	(2.2.2)

 

Поэтому с учетом первого граничного условия общее решение уравнения Лапласа примет вид: 

>

 

(2.2.3)

 

>

 

(2.2.4)

 

2) Второе граничное условие можно записать: 

>

 

(2.2.5)

 

>

 

(2.2.6)

 

>

 

(2.2.7)

 

Ýòо ñîîòíîøåíèе ïîçâîëÿюò îïðåäåëèòü çíà÷åíèÿ ïîñòîÿííûõ B1₀, A1_n,A2_n. Äëÿ ýòîãî óìíîæèì ïîëó÷åííоå ñîîòíîøåíèе ïåðâûé ðàç íà sin(k φ), à âòîðîé ðàç íà cos(k φ): 

>

 

(2.2.8)

 

>

 

(2.2.9)

 

2.3. ВЫЧИСЛЕНИЕ ПОСТОЯННЫХ (ВНУТРИ КРУГА) 

Ïðè âû÷èñëåíèèè ïîñòîÿííûõ B1₀, A1_n,A2_n  иñïîëüçóåì ôîðìóëы, êîòîðûå îòðàæàþò ñâîéñòâà îðòîíîðìèðîâàííîñòè ñèñòåì ôóíêöèé sin(k φ) è cos(k φ) (см. формулы (1) - (6) в Приложении 1). 

Ïîýòîìó èìååì: 

>

 

(2.3.1)

 

>

 

(2.3.2)

 

>

 

 

 

	(2.3.3)

 

 ðåçóëüòàòå, ïîñòîÿííûå B10, A1n,A2n ðàâíû ñîîòâåòñòâåííî: 

>

 

 

 

 

 

Warning, solving for expressions other than names or functions is not recommended.
Warning, solving for expressions other than names or functions is not recommended.
	(2.3.4)

 

или 

>

 

 

 

	(2.3.5)

 

Поэтому ðåøåíèå ïåðâîé êðàåâîé çàäà÷è внутри круга
èìååò âèä: 

>

 

(2.3.6)

 

2.4. ИНТЕГРАЛ ПУАССОНА (ВНУТРИ КРУГА) 

Полученное решение можно представить в интегральной форме (интегралом Пуассона для круга). 

Для этого выполним пðåîáðàçование: 

>

 

(2.4.1)

 

Для преобразования решения используем переменные ρ и α, которые определяются соотношениями: 

r = ρ⋅R₀, 

α = φ - ψ. 

и формулой: 

>

 

(2.4.2)

 

Тогда ряд можно просуммировать: 

>

 

(2.4.3)

 

Возвращаясь к переменным r и φ, получаем получаем интегральное представление решения (интеграл Пуассона) внутри круга: 

>

 

(2.4.4)

 

Введя обозначение (ядро интеграла Пуассона): 

>

 

(2.4.5)

 

получаем решение в интегральной форме (интеграл Пуассона внутри круга): 

>

 

(2.4.6)

 

2.5. ПОСТАНОВКА ПЕРВОЙ КРАЕВОЙ ЗАДАЧИ ДЛЯ УРАВНЕНИЯ ЛАПЛАСА (ВНЕ КРУГА) 

>

 

Рассмотрим первую краевую задачу для уравнения Лапласа вне круга (внешнняя задача Дирихле для круга). 

Ýòî çíà÷èò, ÷òî íåîáõîäèìî íàéòè ôóíêöèþ u, êîòîðàÿ óäîâëåòâîðÿåò вне круга радиуса R₀ óðàâíåíèþ Ëàïëàñà: 

Δu = 0 

è ãðàíè÷íому óñëîâèю íà ãðàíèöе Σ круга: 

u(Σ) = f, 

где f - çàäàííая íà ãðàíèöå ôóíêöèя, Σ - окружность радиуса R₀. 

Общее решения двумерного уравнения Лапласа в полярных координатах (), найденное методом разделения переменных в разделе «Введение», имеет вид: 

>

 

(2.5.1)

 

Ïðè ýòîì ãðàíè÷íые óñëîâèя ôîðìóëèðóюòñÿ â âèäå: 

1) Требование ограниченности решения u: 

u < ∞; 

2) Çíà÷åíèå ôóíêöèè u íà ãðàíèöå êðóãà ðàâíî: 

u(R0,φ) = f(φ). 

Èç ñèììåòðèè çàäà÷è ñëåäóåò òàêæå óñëîâèå ïåðèîäè÷íîñòè ôóíêöèè u(r,φ) ïî угловой переменной . 

2.6. УЧЕТ ГРАНИЧНЫХ УСЛОВИЙ (ВНЕ КРУГА) 

Òåïåðü ó÷òåì íàëîæåííûå íà ôóíêöèþ u(r,φ) ãðàíè÷íûå óñëîâèÿ. 

1) Ограниченность решения в нуле означает равенство нулю коэффициентов: 

B1₀ = 0, 

B1_n = 0, 

откуда имеем (переопределяя постоянные A1_n, A2_n с учетом B2_n): 

>

 

 

 

	(2.6.1)

 

>

 

 

 

	(2.6.2)

 

Поэтому с учетом первого граничного условия общее решение уравнения Лапласа примет вид: 

>

 

(2.6.3)

 

>

 

(2.6.4)

 

2) Второе граничное условие можно записать: 

>

 

(2.6.5)

 

>

 

(2.6.6)

 

>

 

(2.6.7)

 

Ýòо ñîîòíîøåíèе ïîçâîëÿюò îïðåäåëèòü çíà÷åíèÿ ïîñòîÿííûõ B1₀, A1_n,A2_n. Äëÿ ýòîãî óìíîæèì ïîëó÷åííоå ñîîòíîøåíèе ïåðâûé ðàç íà sin(k φ), à âòîðîé ðàç íà cos(k φ): 

>

 

(2.6.8)

 

>

 

(2.6.9)

 

2.7. ВЫЧИСЛЕНИЕ ПОСТОЯННЫХ (ВНЕ КРУГА) 

Ïðè âû÷èñëåíèèè ïîñòîÿííûõ B1₀, A1_n,A2_n  иñïîëüçóåì ôîðìóëы, êîòîðûå îòðàæàþò ñâîéñòâà îðòîíîðìèðîâàííîñòè ñèñòåì ôóíêöèé sin(k φ) è cos(k φ) (см. формулы (1) - (6) в Приложении 1). 

Ïîýòîìó èìååì: 

>

 

(2.7.1)

 

>

 

(2.7.2)

 

>

 

 

 

	(2.7.3)

 

 ðåçóëüòàòå, ïîñòîÿííûå B1₀, A1_n,A2_n ðàâíû ñîîòâåòñòâåííî: 

>

 

 

 

	(2.7.4)

 

или 

>

 

 

 

	(2.7.5)

 

Поэтому ðåøåíèå ïåðâîé êðàåâîé çàäà÷è внутри круга
èìååò âèä: 

>

 

(2.7.6)

 

2.8. ИНТЕГРАЛ ПУАССОНА (ВНЕ КРУГА) 

Полученное решение можно представить в интегральной форме (интегралом Пуассона для круга). 

Для этого выполним пðåîáðàçование: 

>

 

(2.8.1)

 

Для преобразования решения используем переменные ρ и α, которые определяются соотношениями: 

R₀ = ρ⋅r, 

α = φ - ψ. 

и формулой: 

>

 

(2.8.2)

 

Тогда ряд можно просуммировать: 

>

 

(2.8.3)

 

Возвращаясь к переменным r и φ, получаем получаем интегральное представление решения (интеграл Пуассона) внутри круга: 

>

 

(2.8.4)

 

Введя обозначение (ядро интеграла Пуассона): 

>

 

(2.8.5)

 

получаем решение в интегральной форме (интеграл Пуассона внутри круга): 

>

 

(2.8.6)

 

2.9. ОБЩЕЕ ПРЕДСТАВЛЕНИЕ РЕШЕНИЯ В ВИДЕ РЯДА ДЛЯ КРУГА 

>

 

Решение внутри круга имеет вид: 

>

 

(2.9.1)

 

>

 

 

 

	(2.9.2)

 

Переопределим постоянные: 

>

 

 

 

	(2.9.3)

 

Тогда решение внутри круга примет вид: 

>

 

(2.9.4)

 

Решение вне круга имеет вид: 

>

 

(2.9.5)

 

>

 

 

 

	(2.9.6)

 

Переопределим постоянные: 

>

 

 

 

	(2.9.7)

 

Тогда решение вне круга примет вид: 

>

 

(2.9.8)

 

Представление решения в виде ряда: 

>

 

(2.9.9)

 

2.10. ПРЕДСТАВЛЕНИЕ РЕШЕНИЯ В ИНТЕГРАЛЬНОМ ВИДЕ ДЛЯ КРУГА 

>

 

Решение внутри круга имеет вид: 

>

 

(2.10.1)

 

>

 

(2.10.2)

 

Решение вне круга имеет вид: 

>

 

(2.10.3)

 

>

 

(2.10.4)

 

Тогда представление решения в интегральном вид
запишется: 

>

 

(2.10.5)

 

>

 

(2.10.6)

 

3.1. ПОСТАНОВКА ПЕРВОЙ КРАЕВОЙ ЗАДАЧИ ДЛЯ УРАВНЕНИЯ ЛАПЛАСА (ВНУТРИ КРУГА) 

Рассмотрим вторую краевую задачу для уравнения Лапласа внутри круга (внутренняя задача Неймана для круга). 

Ýòî çíà÷èò, ÷òî íåîáõîäèìî íàéòè ôóíêöèþ u, êîòîðàÿ óäîâëåòâîðÿåò внутри круга радиуса R₀ óðàâíåíèþ Ëàïëàñà: 

Δu = 0 

è ãðàíè÷íому óñëîâèю íà ãðàíèöе Σ круга: 

= g, 

где g - çàäàííая íà ãðàíèöå ôóíêöèя, Σ - окружность радиуса R₀. 

Общее решения двумерного уравнения Лапласа в полярных координатах (), найденное методом разделения переменных в разделе «Введение», имеет вид: 

>

 

(3.1.1)

 

Ïðè ýòîì ãðàíè÷íые óñëîâèя ôîðìóëèðóюòñÿ â âèäå: 

1) Требование ограниченности решения u в начале координат: 

u < ∞; 

2) Значение производной функции u íà ãðàíèöå êðóãà
ðàâíî: 

= g(φ). 

Èç ñèììåòðèè çàäà÷è ñëåäóåò òàêæå óñëîâèå ïåðèîäè÷íîñòè ôóíêöèè u(r,φ) ïî угловой переменной . 

3.2. УЧЕТ ГРАНИЧНЫХ УСЛОВИЙ (ВНУТРИ КРУГА) 

Òåïåðü ó÷òåì íàëîæåííûå íà ôóíêöèþ u(r,φ) ãðàíè÷íûå óñëîâèÿ. 

1) Ограниченность решения в нуле означает равенство нулю коэффициентов: 

B2₀ = 0, 

B2_n = 0, 

откуда имеем (переопределяя постоянные A1_n, A2_n с учетом B1_n): 

>

 

 

 

	(3.2.1)

 

>

 

 

 

	(3.2.2)

 

Поэтому с учетом первого граничного условия общее решение уравнения Лапласа и его производная примут вид: 

>

 

(3.2.3)

 

>

 

(3.2.4)

 

2) Второе граничное условие можно записать: 

>

 

(3.2.5)

 

>

 

(3.2.6)

 

>

 

(3.2.7)

 

>

 

(3.2.8)

 

Ýòо ñîîòíîøåíèе ïîçâîëÿюò îïðåäåëèòü çíà÷åíèÿ ïîñòîÿííûõ  A1_n и A2_n. Äëÿ ýòîãî óìíîæèì ïîëó÷åííоå ñîîòíîøåíèе ïåðâûé ðàç íà sin(k φ), à âòîðîé ðàç íà cos(k φ): 

>

 

(3.2.9)

 

>

 

(3.2.10)

 

3.3. ВЫЧИСЛЕНИЕ ПОСТОЯННЫХ (ВНУТРИ КРУГА) 

Ïðè âû÷èñëåíèèè ïîñòîÿííûõ A1_n,A2_n  иñïîëüçóåì
ôîðìóëы, êîòîðûå îòðàæàþò ñâîéñòâà îðòîíîðìèðîâàííîñòè ñèñòåì ôóíêöèé sin(k φ) è cos(k φ)
(см. формулы (1) - (6) в Приложении 1). 

Ïîýòîìó èìååì: 

>

 

(3.3.1)

 

>

 

(3.3.2)

 

>

 

 

	(3.3.3)

 

 ðåçóëüòàòå, ïîñòîÿííûå A1_n и A2_n ðàâíû ñîîòâåòñòâåííî: 

>

 

 

	(3.3.4)

 

или 

>

 

 

	(3.3.5)

 

Поэтому ðåøåíèå ïåðâîé êðàåâîé çàäà÷è внутри круга
èìååò âèä: 

>

 

(3.3.6)

 

3.4. ИНТЕГРАЛ ПУАССОНА (ВНУТРИ КРУГА) 

Полученное решение можно представить в интегральной форме (интегралом Пуассона для круга). 

Для этого выполним пðåîáðàçование: 

>

 

(3.4.1)

 

Для преобразования решения используем также
переменные ρ и α, которые определяются соотношениями: 

r = ρ⋅R₀, 

α = φ - ψ. 

и формулой: 

>

 

(3.4.2)

 

откуда следует: 

>

 

(3.4.3)

 

Теперь рассмотрим сумму (ядро интеграла Пуассона): 

>

 

(3.4.4)

 

Для Kernel(r, φ, ψ) имеет место соотношение: 

>

 

(3.4.5)

 

интегрируя которое, получаем: 

>

 

(3.4.6)

 

и 

>

 

(3.4.7)

 

Возвращаясь к переменным r и φ, получаем получаем интегральное представление решения (интеграл Пуассона) внутри круга: 

>

 

(3.4.8)

 

>

 

(3.4.9)

 

3.5. ПОСТАНОВКА ВТОРОЙ КРАЕВОЙ ЗАДАЧИ ДЛЯ УРАВНЕНИЯ ЛАПЛАСА (ВНЕ КРУГА) 

>

 

Рассмотрим вторую краевую задачу для уравнения Лапласа вне круга (внешняя задача Неймана для круга). 

Ýòî çíà÷èò, ÷òî íåîáõîäèìî íàéòè ôóíêöèþ u, êîòîðàÿ óäîâëåòâîðÿåò вне круга радиуса R₀ óðàâíåíèþ Ëàïëàñà: 

Δu = 0 

è ãðàíè÷íому óñëîâèю íà ãðàíèöе Σ круга: 

= g, 

где g - çàäàííая íà ãðàíèöå ôóíêöèя, Σ - окружность радиуса R₀. 

Общее решения двумерного уравнения Лапласа в полярных координатах (), найденное методом разделения переменных в разделе «Введение», имеет вид: 

>

 

(3.5.1)

 

Ïðè ýòîì ãðàíè÷íые óñëîâèя ôîðìóëèðóюòñÿ â âèäå: 

1) Требование ограниченности решения u: 

u < ∞; 

2) Значение производной функции u íà ãðàíèöå êðóãà
ðàâíî: 

= g(φ). 

Èç ñèììåòðèè çàäà÷è ñëåäóåò òàêæå óñëîâèå ïåðèîäè÷íîñòè ôóíêöèè u(r,φ) ïî угловой переменной . 

3.6. УЧЕТ ГРАНИЧНЫХ УСЛОВИЙ (ВНЕ КРУГА) 

Òåïåðü ó÷òåì íàëîæåííûå íà ôóíêöèþ u(r,φ) ãðàíè÷íûå óñëîâèÿ. 

1) Ограниченность решения в нуле означает равенство нулю коэффициентов: 

B2₀ = 0, 

B1_n = 0, 

откуда имеем (переопределяя постоянные A1_n, A2_n с учетом B1_n): 

>

 

 

 

	(3.6.1)

 

>

 

 

 

	(3.6.2)

 

Поэтому с учетом первого граничного условия общее решение уравнения Лапласа и его производная примут вид: 

>

 

(3.6.3)

 

>

 

(3.6.4)

 

2) Второе граничное условие можно записать: 

>

 

(3.6.5)

 

>

 

(3.6.6)

 

>

 

(3.6.7)

 

>

 

(3.6.8)

 

Ýòо ñîîòíîøåíèе ïîçâîëÿюò îïðåäåëèòü çíà÷åíèÿ ïîñòîÿííûõ  A1_n и A2_n. Äëÿ ýòîãî óìíîæèì ïîëó÷åííоå ñîîòíîøåíèе ïåðâûé ðàç íà sin(k φ), à âòîðîé ðàç íà cos(k φ): 

>

 

(3.6.9)

 

>

 

(3.6.10)

 

3.7. ВЫЧИСЛЕНИЕ ПОСТОЯННЫХ (ВНЕ КРУГА) 

Ïðè âû÷èñëåíèèè ïîñòîÿííûõ A1_n,A2_n  иñïîëüçóåì
ôîðìóëы, êîòîðûå îòðàæàþò ñâîéñòâà îðòîíîðìèðîâàííîñòè ñèñòåì ôóíêöèé sin(k φ) è cos(k φ) (см. формулы (1) - (6) в Приложении 1). 

Ïîýòîìó èìååì: 

>

 

(3.7.1)

 

>

 

(3.7.2)

 

>

 

 

	(3.7.3)

 

 ðåçóëüòàòå, ïîñòîÿííûå A1_n и A2_n ðàâíû ñîîòâåòñòâåííî: 

>

 

 

	(3.7.4)

 

или 

>

 

 

	(3.7.5)

 

Поэтому ðåøåíèå ïåðâîé êðàåâîé çàäà÷è внутри круга
èìååò âèä: 

>

 

(3.7.6)

 

3.8. ИНТЕГРАЛ ПУАССОНА (ВНЕ КРУГА) 

Полученное решение можно представить в интегральной форме (интегралом Пуассона для круга). 

Для этого выполним пðåîáðàçование: 

>

 

(3.8.1)

 

Для преобразования решения используем также переменные ρ и α, которые определяются соотношениями: 

R₀ = ρ⋅r, 

α = φ - ψ. 

и формулой: 

>

 

(3.8.2)

 

откуда следует: 

>

 

(3.8.3)

 

Теперь рассмотрим сумму (ядро интеграла Пуассона): 

>

 

(3.8.4)

 

Для Kernel(r, φ, ψ) имеет место соотношение: 

>

 

(3.8.5)

 

интегрируя которое, получаем: 

>

 

(3.8.6)

 

и 

>

 

(3.8.7)

 

Возвращаясь к переменным r и φ, получаем получаем интегральное представление решения (интеграл Пуассона) внутри круга: 

>

 

(3.8.8)

 

>

 

(3.8.9)

 

3.9. ОБЩЕЕ ПРЕДСТАВЛЕНИЕ РЕШЕНИЯ В ВИДЕ РЯДА 

>

 

Решение внутри круга имеет вид: 

>

 

(3.9.1)

 

где B1 - произвольная константа, 

>

 

 

	(3.9.2)

 

Переопределим постоянные: 

>

 

 

	(3.9.3)

 

Тогда решение внутри круга примет вид: 

>

 

(3.9.4)

 

Решение вне круга имеет вид: 

>

 

(3.9.5)

 

где 

>

 

(3.9.6)

 

Переопределим постоянные: 

>

 

 

	(3.9.7)

 

Тогда решение вне круга примет вид: 

>

 

(3.9.8)

 

Представление решения в виде ряда: 

>

 

(3.9.9)

 

3.10. ОБЩЕЕ ПРЕДСТАВЛЕНИЕ РЕШЕНИЯ В ИНТЕГРАЛЬНОМ ВИДЕ 

>

 

Решение внутри круга имеет вид: 

>

 

(3.10.1)

 

>

 

(3.10.2)

 

Решение вне круга имеет вид: 

>

 

(3.10.3)

 

>

 

(3.10.4)

 

Тогда представление решения в интегральном вид
запишется: 

>

 

(3.10.5)

 

>

 

(3.10.6)

 

4.1. ПОСТАНОВКА ТРЕТЬЕЙ КРАЕВОЙ ЗАДАЧИ ДЛЯ УРАВНЕНИЯ ЛАПЛАСА (ВНУТРИ КРУГА) 

>

 

Рассмотрим третью краевую задачу для уравнения Лапласа внутри круга. 

Ýòî çíà÷èò, ÷òî íåîáõîäèìî íàéòè ôóíêöèþ u, êîòîðàÿ óäîâëåòâîðÿåò внутри круга радиуса R₀ óðàâíåíèþ Ëàïëàñà: 

Δu = 0 

è ãðàíè÷íому óñëîâèю íà ãðàíèöе Σ круга: 

= h, 

где h - çàäàííая íà ãðàíèöå ôóíêöèя, Σ - окружность радиуса R₀. 

Общее решения двумерного уравнения Лапласа в
полярных координатах (), найденное методом разделения переменных в разделе «Введение», имеет вид: 

>

 

(4.1.1)

 

Ïðè ýòîì ãðàíè÷íые óñëîâèя ôîðìóëèðóюòñÿ â âèäå: 

1) Требование ограниченности решения u в начале координат: 

u < ∞; 

2) Значение производной функции u íà ãðàíèöå êðóãà
ðàâíî: 

= g(φ). 

Èç ñèììåòðèè çàäà÷è ñëåäóåò òàêæå óñëîâèå ïåðèîäè÷íîñòè ôóíêöèè u(r,φ) ïî угловой переменной . 

4.2. УЧЕТ ГРАНИЧНЫХ УСЛОВИЙ (ВНУТРИ КРУГА) 

Òåïåðü ó÷òåì íàëîæåííûå íà ôóíêöèþ u(r,φ) ãðàíè÷íûå óñëîâèÿ. 

1) Ограниченность решения в нуле означает равенство нулю коэффициентов: 

B2₀ = 0, 

B2_n = 0, 

откуда имеем (переопределяя постоянные A1_n, A2_n с учетом B1_n): 

>

 

 

 

	(4.2.1)

 

>

 

 

 

	(4.2.2)

 

Поэтому с учетом первого граничного условия общее решение уравнения Лапласа и его производная примут вид: 

>

 

(4.2.3)

 

>

 

(4.2.4)

 

2) Второе граничное условие можно записать: 

>

 

(4.2.5)

 

>

 

(4.2.6)

 

>

 

(4.2.7)

 

>

 

(4.2.8)

 

Ýòо ñîîòíîøåíèе ïîçâîëÿюò îïðåäåëèòü çíà÷åíèÿ ïîñòîÿííûõ B1₀, A1_n и A2_n. Äëÿ ýòîãî óìíîæèì ïîëó÷åííоå ñîîòíîøåíèе ïåðâûé ðàç íà sin(k φ), à âòîðîé ðàç íà cos(k φ): 

>

 

(4.2.9)

 

>

 

(4.2.10)

 

4.3. ВЫЧИСЛЕНИЕ ПОСТОЯННЫХ (ВНУТРИ КРУГА) 

Ïðè âû÷èñëåíèèè ïîñòîÿííûõ B1₀, A1_n,A2_n  иñïîëüçóåì ôîðìóëы, êîòîðûå îòðàæàþò ñâîéñòâà îðòîíîðìèðîâàííîñòè ñèñòåì ôóíêöèé sin(k φ) è cos(k φ) (см. формулы (1) - (6) в Приложении 1). 

Ïîýòîìó èìååì: 

>

 

(4.3.1)

 

>

 

(4.3.2)

 

>

 

(4.3.3)

 

>

 

(4.3.4)

 

>

 

(4.3.5)

 

 ðåçóëüòàòå, ïîñòîÿííûå B1₀, A1_n и A2_n ðàâíû ñîîòâåòñòâåííî: 

>

 

 

 

	(4.3.6)

 

или 

>

 

 

 

	(4.3.7)

 

Поэтому ðåøåíèå ïåðâîé êðàåâîé çàäà÷è внутри круга
èìååò âèä: 

>

 

(4.3.8)

 

Полученное решение можно представить как: 

>

 

(4.3.9)

 

4.4. ПОСТАНОВКА ВТОРОЙ КРАЕВОЙ ЗАДАЧИ ДЛЯ УРАВНЕНИЯ ЛАПЛАСА (ВНЕ КРУГА) 

>

 

Рассмотрим третью краевую задачу для уравнения Лапласа вне круга. 

Ýòî çíà÷èò, ÷òî íåîáõîäèìî íàéòè ôóíêöèþ u, êîòîðàÿ óäîâëåòâîðÿåò вне круга радиуса R₀ óðàâíåíèþ Ëàïëàñà: 

Δu = 0 

è ãðàíè÷íому óñëîâèю íà ãðàíèöе Σ круга: 

= h, 

где h - çàäàííая íà ãðàíèöå ôóíêöèя, Σ - окружность радиуса R₀. 

Общее решения двумерного уравнения Лапласа в полярных координатах (), найденное методом разделения переменных в разделе «Введение», имеет вид: 

>

 

(4.4.1)

 

Ïðè ýòîì ãðàíè÷íые óñëîâèя ôîðìóëèðóюòñÿ â âèäå: 

1) Требование ограниченности решения u: 

u < ∞; 

2) Значение производной функции u íà ãðàíèöå êðóãà ðàâíî: 

= g(φ). 

Èç ñèììåòðèè çàäà÷è ñëåäóåò òàêæå óñëîâèå ïåðèîäè÷íîñòè ôóíêöèè u(r,φ) ïî угловой переменной . 

4.5. УЧЕТ ГРАНИЧНЫХ УСЛОВИЙ (ВНЕ КРУГА) 

Òåïåðü ó÷òåì íàëîæåííûå íà ôóíêöèþ u(r,φ) ãðàíè÷íûå óñëîâèÿ. 

1) Ограниченность решения в нуле означает равенство нулю коэффициентов: 

B2₀ = 0, 

B1_n = 0, 

откуда имеем (переопределяя постоянные A1_n, A2_n с учетом B1_n): 

>

 

 

 

	(4.5.1)

 

>

 

 

 

	(4.5.2)

 

Поэтому с учетом первого граничного условия общее решение уравнения Лапласа и его производная примут вид: 

>

 

(4.5.3)

 

>

 

(4.5.4)

 

2) Второе граничное условие можно записать: 

>

 

(4.5.5)

 

>

 

(4.5.6)

 

>

 

(4.5.7)

 

>

 

(4.5.8)

 

Ýòо ñîîòíîøåíèе ïîçâîëÿюò îïðåäåëèòü çíà÷åíèÿ ïîñòîÿííûõ B1₀, A1_n и A2_n. Äëÿ ýòîãî óìíîæèì ïîëó÷åííоå ñîîòíîøåíèе ïåðâûé ðàç íà sin(k φ), à âòîðîé ðàç íà cos(k φ): 

>

 

(4.5.9)

 

>

 

(4.5.10)

 

4.6. ВЫЧИСЛЕНИЕ ПОСТОЯННЫХ (ВНЕ КРУГА) 

Ïðè âû÷èñëåíèèè ïîñòîÿííûõ B1₀, A1_n,A2_n  иñïîëüçóåì ôîðìóëы, êîòîðûå îòðàæàþò ñâîéñòâà îðòîíîðìèðîâàííîñòè ñèñòåì ôóíêöèé sin(k φ) è cos(k φ) (см. формулы (1) - (6) в Приложении 1). 

Ïîýòîìó èìååì: 

>

 

(4.6.1)

 

>

 

(4.6.2)

 

>

 

(4.6.3)

 

>

 

(4.6.4)

 

>

 

(4.6.5)

 

 ðåçóëüòàòå, ïîñòîÿííûå B1₀, A1_n и A2_n ðàâíû ñîîòâåòñòâåííî: 

>

 

 

 

	(4.6.6)

 

или 

>

 

 

 

	(4.6.7)

 

Поэтому ðåøåíèå ïåðâîé êðàåâîé çàäà÷è вне круга èìååò âèä: 

>

 

(4.6.8)

 

Полученное решение можно представить в виде: 

>

 

(4.6.9)

 

4.7. ОБЩЕЕ ПРЕДСТАВЛЕНИЕ РЕШЕНИЯ В ВИДЕ РЯДА ДЛЯ КРУГА 

>

 

Решение внутри круга имеет вид: 

>

 

(4.7.1)

 

где 

>

 

 

 

	(4.7.2)

 

Переопределим постоянные: 

>

 

 

 

	(4.7.3)

 

Тогда решение внутри круга примет вид: 

>

 

(4.7.4)

 

Решение вне круга имеет вид: 

>

 

(4.7.5)

 

где 

>

 

 

 

	(4.7.6)

 

Переопределим постоянные: 

>

 

 

 

	(4.7.7)

 

Тогда решение вне круга примет вид: 

>

 

(4.7.8)

 

Представление решения в виде ряда: 

>

 

(4.7.9)

 

Решение можно также представить в виде: 

>

 

 

	(4.7.10)

 

>

 

(4.7.11)

 

5.1. ПОСТАНОВКА ПЕРВОЙ КРАЕВОЙ ЗАДАЧИ ДЛЯ УРАВНЕНИЯ ЛАПЛАСА В КОЛЬЦЕ 

>

 

Ðàññìîòðèì ïåðâóþ êðàåâóþ çàäà÷ó äëÿ óðàâíåíèÿ Ëàïëàñà â êольце (в этом пункте ячейки вывода, в основном, опущены). 

Ýòî çíà÷èò, ÷òî íåîáõîäèìî íàéòè ôóíêöèþ u, êîòîðàÿ óäîâëåòâîðÿåò â êîëüöå óðàâíåíèþ Ëàïëàñà: 

Δu = 0 

è ãðàíè÷íûì óñëîâèÿì íà ãðàíèöàõ Σ₁ è Σ₂ êîëüöа: 

u(Σ₁) = f₁, u(Σ₂) = f₂ 

где f₁ è f₂  - çàäàííûå íà ãðàíèöå ôóíêöèè, Σ₁ è Σ₂ - окружности радиусов R₁ è R₂ соответственно. 

Общее решения двумерного уравнения Лапласа в полярных координатах (), найденное методом разделения переменных в разделе «Введение», имеет вид: 

>

 

Ïðè ýòîì ãðàíè÷íûå óñëîâèÿ ôîðìóëèðóþòñÿ â âèäå: 

1) Çíà÷åíèå ôóíêöèè u íà âíóòðåííåé ãðàíèöå êðóãà ðàâíî: 

u(R₁,φ) = f₁(φ); 

2) Çíà÷åíèå ôóíêöèè u íà âíåøíåé ãðàíèöå кольца ðàâíî: 

u(R₁,φ) = f₁(φ). 

Èç ñèììåòðèè çàäà÷è ñëåäóåò òàêæå óñëîâèå ïåðèîäè÷íîñòè ôóíêöèè u(r,φ) ïî угловой переменной . 

Ïåðåîïðåäåëèì ïîñòîÿííûå: 

>

 

откуда îáùåå ðåøåíèå óðàâíåíèÿ Ëàïëàñà имеет âèä: 

>

 

(5.1.1)

 

5.2. УЧЕТ ГРАНИЧНЫХ УСЛОВИЙ В КОЛЬЦЕ 

Òåïåðü ó÷òåì íàëîæåííûå íà ôóíêöèþ u(r,φ) ãðàíè÷íûå óñëîâèÿ, которые ìîæíî çàïèñàòü в виде: 

>

 

>

 

>

 

Ýòи ñîîòíîøåíèя ïîçâîëÿюò îïðåäåëèòü çíà÷åíèÿ ïîñòîÿííûõ B1₀, B2₀,C1_n,C2_n,C3_n,C4_n. Äëÿ ýòîãî óìíîæèì ïîëó÷åííûå ñîîòíîøåíèÿ ïåðâûé ðàç íà sin(k φ), à âòîðîé ðàç íà cos(k φ) è çàìåíèì ïåðåìåííóþ èíòåãðèðîâàíèÿ: 

>

 

>

 

>

 

>

 

5.3. ВЫЧИСЛЕНИЕ ПОСТОЯННЫХ В КОЛЬЦЕ 

Ïðè âû÷èñëåíèèè ïîñòîÿííûõ B1₀, B2₀,C1_n,C2_n,C3_n,C4_n иñïîëüçóåì ôîðìóëы, êîòîðûå îòðàæàþò ñâîéñòâà îðòîíîðìèðîâàííîñòè ñèñòåì ôóíêöèé sin(k φ) è cos(k φ) (см. формулы (1) - (6) в Приложении 1). 

Ïîýòîìó èìååì: 

à) äëÿ k = 0: 

>

 

>

 

á) äëÿ k ≠ 0: 

>

 

>

 

>

 

>

 

îòêóäà ïðè k = n èìååì: 

>

 

>

 

>

 

>

 

 ðåçóëüòàòå, ïîñòîÿííûå B1₀, B2₀,C1_n,C2_n,C3_n,C4_n ðàâíû ñîîòâåòñòâåííî: 

>

 

>

 

>

 

èëè 

>

 

>

 

>

 

>

 

>

 

>

 

Поэтому ðåøåíèå ïåðâîé êðàåâîé çàäà÷è записывается: 

>

 

(5.3.1)

 

5.4. ИНТЕГРАЛЬНОЕ ПРЕДСТАВЛЕНИЕ РЕШЕНИЯ В КОЛЬЦЕ 

Полученное решение можно представить в интегральной форме. Для этого выполним пðåîáðàçование ñ ó÷åòîì ñîîòíîøåíèé: 

>

 

>

 

ïîëó÷àåì: 

>

 

>

 

Íàêîíåö, îïðåäåëÿÿ ôóíêöèè 

>

 

>

 

получаем решение интегральной форме: 

>