: архив : архив журнала "Звукорежиссер" : 2003 : #10

Музыкальные шкалы и интервалы.
Психоакустические основы их строения
Ирина Алдошина

Рис. 1. Зависимость психофизической высоты звука от частоты

Как уже было рассмотрено в предыдущих статьях по психоакустике, слуховой аппарат воспринимает звук в широком диапазоне частот 20 Гц…20 кГц (правда, с возрастом чувствительность слуха к высоким частотам падает, каждые 10 лет на 1000 Гц). Связь ощущаемой высоты звука с частотой является функцией нелинейной и может быть представлена в виде, показанном на рисунке 1 (психофизической единицей измерения высоты является мел).

Дифференциальные пороги слуха, то есть способность различать звуки разной частоты, составляют Δf/f = 0,003…0,004, например, на 1000 Гц при уровне 80 дБ это составляет порядка 3 Гц. В пределах слышимого диапазона слуховая система различает по высоте примерно 620 градаций, до частоты 500 Гц порядка 140 градаций высоты, и выше 500 Гц 480 градаций ("Звукорежиссер", 5 и 6/2000).

Однако различные культуры для создания музыки используют ограниченный дискретный набор звуков, называемый шкалами (scala, лат. - лестница). Причем, градации между этими звуками, например в европейской музыке, превышают, в среднем, слуховые пороги более чем в 20 раз.

Почему для создания классической музыки используются, в основном, звуки, изменение высоты которых происходит дискретными скачками (а не непрерывно, в виде скользящих тонов, как, например, звуки, издаваемые дельфинами), и почему количество этих тонов очень ограничено, значительно меньше общего количества звуковысотных градаций, различаемых слухом? Этой проблемой в настоящее время активно занимается психоакустика.

Существует несколько гипотез. Во-первых, процесс обработки звуков в слуховой системе обладает определенной инерционностью, для распознавания высоты требуется примерно 15…60 мс, а для распознавания тембра - 200 мс. Во-вторых, мозгу легче обрабатывать, идентифицировать и сохранять в памяти мелодию, состоящую из временной последовательности дискретных высот, которые находятся в определенных соотношениях друг с другом. Это дает возможность для сравнения с уже хранящимися в памяти образцами мелодий. В третьих, обработка, идентификация и сохранение скользящей последовательности тонов требовали бы больше информационных ресурсов, чем дискретная последовательность, а принцип работы нервной системы, в целом, состоит в максимальной экономии усилий.

Следующая принципиальная причина использования ограниченного числа тонов состоит в физических возможностях музыкальных инструментов, где в качестве вибраторов используются тела, имеющие дискретный набор резонансных частот: струны, трубы духовых инструментов и т.д.

Наконец, конкретная сетка частот, используемая в каждой музыкальной культуре, уникальна. Она зависит от традиций, опыта и т.д., но психоакустичеcкая основа ощущения консонанса и диссонанса примерно одна и та же, именно она является критерием отбора тонов для построения музыкальных шкал (см. "Звукорежиссер", 8/1999). В книге известного психоакустика Редерера "Физика и психофизика музыки" предлагается такое определение музыкальной шкалы: "дискретная последовательность тонов (высот), организованная таким образом, чтобы получить максимально возможное число консонансных комбинаций, когда две или более нот из этой последовательности звучат одновременно".

Интересно заметить, что пользуются шкалами музыканты, а создают их физики-акустики и математики. Принципы построения музыкальных шкал (особенно в наше время, когда компьютерные технологии открывают новые возможности для их поcтроения) необходимо понимать как музыкантам, так и звукорежиссерам, именно поэтому их изучение введено во все образовательные стандарты в этой области.

Прежде чем переходить к принципам построения музыкальных шкал в западной музыке (принципы построения музыкальных шкал в других музыкальных культурах имеют существенные различия, с ними можно познакомиться, воспользовавшись специальной литературой), необходимо рассмотреть количественные соотношения частот в музыкальных интервалах, то есть их интервальные коэффициенты.

Музыкальные интервалы и интервальные коэффициенты

Рис. 2. Уровнеграмма звуков А4 для скрипки, трубы, флейты и гобоя

Рис. 3. Спектр звуков А4 для скрипки, трубы, флейты и гобоя

Тональная музыка требует для построения мелодии и гармонии звуков с четко идентифицируемой высотой (разумеется, могут использоваться звуки с неопределенной высотой: шумы, удары и др., но это уже не тональная музыка). Для этого звук должен иметь четко выраженную периодическую структуру, иначе слуховая система не может идентифицировать его высоту (см. "Звукорежиссер", 6/1999). Именно по этой причине, в большинстве музыкальных инструментов используются вибраторы (струны, столбы воздуха, бруски и др.), резонансные чаcтоты которых находятся в целочисленных соотношениях, то есть в их спектре все обертоны являются гармониками, поскольку именно такие вибраторы при колебаниях создают звуковые сигналы с периодической структурой.

Как известно из физики колебаний, число собственных частот любого вибратора, как распределенной механической системы, бесконечно велико. Например, ударяя по клавише рояля и заставляя молоточек ударять по струне, мы возбуждаем струну на всех ее собственных частотах. Таким образом, каждая нота представляет собой одновременно звучащий аккорд, содержащий основную частоту и все высшие гармоники. Хотя число возбуждаемых гармоник бесконечно велико, но, во-первых, амплитуды их быстро убывают, во-вторых, только ограниченное число гармоник попадает в слышимый диапазон частот до 16…20 кГц, в третьих, особенности обработки звука на базилярной мембране показывают, что реальное значение для восприятия тембра играют только первые 15…17 гармоник. Физическое устройство многих музыкальных инструментов (например, флейты, тубы) позволяет воспроизводить только несколько первых гармоник со значительными амплитудами, остальные быстро затухают.

На рисунке 2 представлена зависимость звукового давления от времени для ноты А4 (ля первой октавы) (соответствие этих обозначений нотам на клавиатуре показано на рисунке 11) с основной частотой f₀ = 440 Гц. Спектральный анализ позволяет представить этот сигнал в виде суммы гармоник с целочисленным отношением частот: 1:2:3:4:5:6… (рисунок 3). Очевидно, что сигнал может быть представлен в виде суммы синусоидальных колебаний со следующими частотами: 1 х f₀ = 440 Гц; 2 х f₀ = 880 Гц; 3 х f₀ = 1320 Гц; 4 х f₀ = 1760 Гц и т.д.

Рис. 4. Расположение гармонического ряда на нотном стане

Если обратиться к расположению гармонического (обертонового) ряда на нотном стане, показанному, как пример, для ноты С3 на рисунке 4, и представить интервалы между гармониками в виде отношений их частот, то можно получить следующий набор музыкальных интервалов:

• отношение частоты второй гармоники к первой равно 2:1 - октава;
• третьей гармоники ко второй 3:2 - квинта;
• 4:3 - кварта;
• 5:4 - большая терция;
• 6:5 - малая терция;
• 7:6 - узкая малая (уже темперированной) терция;
• 8:7 - широкая большая (шире темперированной) секунда;
• 9:8 - целый тон;
• 10:9 - суженный целый тон и т.д.

Отношения частот для интервалов между неcмежными гармониками в этом ряду также видны на рисунке 4: например, музыкальный интервал между четвертой гармоникой и первой (4:1) равен двум октавам, между девятой и шестой (9:6) равен квинте и т.д. Музыкальные интервалы с таким отношением частот называются "чистыми".

Отношение частот, соответствующее каждому интервалу, называется его интервальным коэффициентом.

С помощью интервальных коэффициентов можно найти любые музыкальные интервалы, представляющие собой комбинации вышеуказанных интервалов.

При этом должно выполняться следующее правило: чтобы сложить два интервала, надо умножить их интервальные коэффициенты; чтобы вычесть, надо разделить их интервальные коэффициенты.

Рис. 5. Расположение гармоник на линейной и логарифмической шкалах

Например, квинта и кварта в сумме дают октаву, значит их интервальные коэффициенты находятся в следующих соотношениях: (4:3) х (3:2) = 2:1.

Для того, чтобы найти интервальный коэффициент большой сексты, надо учесть, что она получается вычитанием из октавы малой терции, значит, ее интервальный коэффициент равен: (2:1):(6:5)=5:3.

Если расположить гармоники на линейной и логарифмической частотной шкалах (на рисунке 5 представлены первые десять гармоник для нот A4, E4, A3), то видно, что расстояния между гармониками на линейной шкале равны между собой, а на логарифмической шкале они прогрессивно уменьшаются.

Рис. 6. Расположение интервалов на логарифмической шкале

Использование логарифмического представления частоты дает возможность придать равное расстояние тем интервалам на частотной шкале, которые слухом воспринимаются как одинаковые. Например, октавы в нижней части диапазона с отношением частот 100:200 Гц и в верхней части диапазона с отношеним частот 1000:2000 Гц на линейной шкале отличаются по расстоянию в десять раз, а на логарифмической шкале интервал "октава" соответствует одинаковому расстоянию в любой части диапазона (рисунок 6). Поскольку для слуха октава в любом месте диапазона воспринимается одинаково, то представление на логарифмической частотной шкале больше соответствует слуховому восприятию. Это относится и к другим интервалам (квинтам, квартам и т.д.). Умножение (или деление) расстояния на логарифмической шкале в два раза соответствует увеличению (уменьшению) музыкального интервала на октаву, умножение на 3:2 эквивалентно увеличению интервала на квинту и т.д.

Поскольку высота тона воспринимается пропорционально логарифму частоты (закон Вебера-Фехнера), то и музыкальные интервалы воспринимаются в соответствии с их расстояниями на логарифмической шкале частот.

Таким образом, логарифмическое представление интервалов на шкале частот соответствует слуховому механизму анализа высоты музыкального тона.

Пользуясь этими закономерностями, можно всегда определить, сколько октав (также как и других интервалов) содержится внутри интервала с любым соотношением частот. Например, если интервальный коэффициент этого интервала S = f_в/f_н, то, чтобы определить из скольких n-октав он состоит, надо умножить интервальные коэффициенты октав n раз (2:1) (2:1) (2:1)… = S или 2ⁿ = S. Отсюда, если взять логарифм от обеих частей этого равенства, получится:

lg S = n lg2, или n≈3,322 lg f_в/f_н.

Например, если значения частот равны f_в = 1760 Гц и f_н = 55 Гц, то отношение частот f_в/f_н равно 1760/55, а число октав можно определить как n = 3,322 lg 1760/55 = 5, то есть в этом интервале (А6…А1) находится пять октав.

Рис. 7. Музыкальные интервалы внутри одной октавы

Музыкальные интервалы между гармониками уменьшаются по мере увеличения их номера в следующих пропорциях: 2:1 > 3:2 > 4:3 > 5:4 > 6:5 и т.д. Если все возможные расстояния между гармониками привести к одной октаве, то получится ряд музыкальных интервалов, представленных на рисунке 7.

Можно отметить,что развитие гармонии в западной музыке может быть рассмотрено в терминах уменьшающихся музыкальных интервалов между соседними гармониками по мере увеличения их номера. Ранняя полифоническая музыка, известная как "organum", использовала октаву, квинту и ее обращение - кварту, а это как раз расстояния между первыми членами гармонического ряда 2:1, 3:2, 4:3. Позднее были введены большая и малая терции (это интервалы между 4 и 5 и 5 и 6 натуральными гармониками) вместе с их обращениями: малой и большой секстой 5:8 и 3:5.

Затем мажорное трезвучие, состоящее из большой и малой терций, и минорное трезвучие (малая и большая терции) становятся базовыми элементами западной гармонии. С 16 века начинает использоваться интервал малая септима и ее обращение большая секунда, а это отношения гармоник 4:7 и 7:8. Позже началось активное использование в музыке целых тонов, то есть интервалов между 8 и 9 и между 9 и 10 гармониками, и полутонов, а это интервалы между гармониками выше 11. Композиторы ХХ века уже стали использовать микротоны с интервалами уже полутона, которые могут быть реализованы в настоящее время с помощью компьютерных технологий.

Принципы построения музыкальных шкал

В настоящее время принято следующее определение: "Музыкальная шкала - это дискретная последовательность звуков в повышающемся или понижающемся по высоте порядке".

Хотя число шкал теоретически может быть бесконечно большим, в музыкальных культурах разных народов используется относительно небольшое их количество. Простейшие шкалы, построенные интуитивно, можно найти в древних и примитивных культурах, например шкалы, состоящие из одного-двух-трех интервалов, использовались в музыке народов Цейлона, восточной Сибири и Америки. Более сложные музыкальные шкалы создавались в музыке более развитых культур, причем строились они по определенным правилам, исходя из потребностей музыкального искусства. Пентатоника, имеющая очень широкое распространение в музыке Дальнего Востока (Японии, Китае и др.) и в европейской народной музыке, также широко использовалась в Греции и ранних грегорианских песнопениях. Шкала состоит из пяти тонов, например C-D-E-G-A (хотя имеются и другие ее варианты). В европейской музыке широко используется диатоническая шкала, построенная на пяти целых тонах и двух полутонах. Ее варианты (мажорный и минорный) применяются в европейской музыке более 300 лет. Композиторы XX века начали использовать принципы композиции, основанные на более сложной хроматичеcкой шкале, состоящей из 12 полутонов в октаве. Наконец, сейчас, в связи с возможностями компьютерных технологий, используются микротоновые шкалы с интервалами меньше полутона (например, четвертьтоновые). Таким образом, поиски новых вариантов шкал для музыкальных композиций все время продолжаются.

Если учесть, что в основе построения шкал лежало стремление сохранить максимально возможное количество консонансных интервалов, то необходимо напомнить, что по степени консонансности интервалы можно оценить в соответствии с таблицей 1. С увеличением номеров гармоник степень консонансности интервалов между ними уменьшается.

Вообще говоря, можно построить несколько различных музыкальных шкал, удовлетворяющих требованию "сохранения максимально возможного обеспечения консонансных интервалов". В истории развития музыки таких попыток было достаточно много.

Среди шкал, оказавших наибольшее влияние на развитие западной музыки, можно выделить следующие.

Пифагорийская шкала. В основе построения шкалы лежал принцип использования "чистых" интервалов с малым соотношением чисел (интервальных коэффициентов) 2:1 - октава, 3:2 - квинта, 4:3 - кварта.

Такой принцип был предложен прежде всего потому, что, во-первых, это были наиболее совершенные консонансные интервалы, во-вторых, это соответствовало идее Пифагора о гармонии малых чисел, в-третьих, Пифагор экспериментировал со струнами. И было уже тогда понятно, как можно физически обеспечить звуки такой шкалы: чтобы повысить тон на октаву, надо струну укоротить в два раза, чтобы понизить, надо удлинить в два раза; чтобы повысить тон на квинту, надо взять 2/3 длины струны, а если взять от нее еще 2/3, то можно повысить еще на квинту и т.д.

Рис. 8. Двойной квинтовый круг

Задача состояла в том, чтобы создать шкалу с максимально возможным числом "чистых" октав, квинт и кварт, а остальные интервалы могли быть получены как производные от них, с тем соотношением частот, которые удастся получить.

Способ построения шкалы заключался в следующем (рисунок 8 - двойной квинтовый круг): если взять за основу какую-то ноту, например, ноту С (до), и добавить к ней квинту, получится нота G (соль), при этом интервальный коэффициент f_G:f_C = 3/2. Если добавить еще квинту (умножить 3/2 на 3/2), то получится нота D (ре) с интервальным коэффициентом к С: (3/2)². Двигаясь дальше на квинту, можно получить ноту А (ля) с интервальным коэффициентом к С: (3/2)³, затем ноту Е (ми) с интервальным коэффициентом к С: (3/2)⁴ и ноту В (си) с коэффициентом к С: (3/2)⁵. (В европейской континентальной музыкальной нотации ноту "си" принято было обозначать буквой Н, а ноту "си-бемоль" буквой В, но в англоязычной литературе "си" обозначается В, а "си-бемоль" - Вb - прим. ред.).

Чтобы получить седьмую ноту, можно сделать один переход на квинту вниз к ноте F (фа) с интервальным коэффициентом по отношению к С, равным 2/3 (вычесть квинту значит поделить на 1:3/2, т.е. умножить на 2/3).

Таким образом, получается семь нот со следующими интервальными коэффициентами относительно ноты С (до):

2/3 - 1 - 3/2 - (3/2)² - (3/2)³ - (3/2)⁴ - (3/2)⁵, которые после возведения в степень оказываются равными:

2/3 - 1 - 3/2 - 9/4 - 27/8 - 81/16 - 243/32.

Отсюда видно, что все ноты, кроме первых двух, выходят за пределы октавы. Чтобы их ввести внутрь октавы, надо вычесть одну, две или три октавы соответственно, то есть поделить на 2/1, (2/1 х 2/1) и т.д. Результаты представлены в таблице 2.

Получилась диатоническая шкала, в которой целый тон имеет интервальный коэффициент 9/8, а полутон - 256/243 (диатонический).

Можно продолжить квинтовые переходы (рисунок 8), каждый тон перенести внутрь октавы и получить более полную хроматическую шкалу.

Но здесь возникают проблемы.

Первая: никаким количеством квинтовых переходов не попасть точно в ноту С* (на октаву выше), поскольку любое целое число квинт не равно целому числу октав:

(3/2)^m ≠ (2/1)ⁿ.

Ближе всего подходят 12 квинтовых переходов к семи октавам, но С**/С4 = (3/2)¹² = 129,764, а семь целых октав дают (2/1)⁷ = 128,0, то есть при квинтовых переходах "проскакивается" нота С*, получается нота С** с отношением частот С**/С* = 129,764/128,0 = 1,01364. Эта разница составляет примерно 1/9 целого тона или 1/4 полутона. Она называется Пифагоровой коммой (комма - интервал меньше 1/8 тона).

Вторая проблема состоит в том, что если двигаться квинтами вниз от ноты С (то есть вычитать квинты или делить на 3/2, т.е. умножать на 2/3), то получается нота С***, ниже С* на эту же величину.

Рис. 9. Расстояние между парами нот в шкале Пифагора

При этом ходы вверх дают диезы к нижней ноте, а ходы вниз - бемоли к верхней ноте. Оказывается, что частоты нот с диезами и бемолями не совпадают.

Получается, что внутри каждой пары нот в диатонической гамме появляются две ноты с диезами и бемолями (рисунок 9), расстояние между которыми равно также 1,01364. Таким образом, в этой шкале отсутствует энгармонизм.

Кроме того, полутоны в хроматической гамме, например между F/Fis (фа-диез) равны 1,068, и не равны полутонам в диатонической гамме 256/243 = 1,053.

Диатонический полутон получается за пять квинтовых переходов, его интервальный коэффициент равен 243/256, а хроматический - за семь квинтовых переходов с интервальным коэффициентом 2048/2187, отсюда разница 1,01364.

Таким образом, получается два разных полутона с разницей также 1,01364 (23,5 цента).

Построенная таким образом шкала может считаться однофакторной, все интервалы получаются в ней за разное число квинтовых переходов: большая секунда - два квинтовых перехода (целый тон) 8/9, большая секста - три перехода16/27, большая терция - четыре перехода 64/81, диатонический полутон - пять квинтовых переходов, хроматический полутон - семь квинтовых переходов и т.д.

Достоинство шкалы Пифагора, прежде всего, в том, что в ней используются чистые квинты и кварты, что значительно облегчает настройку инструментов. В средние века настраивали по квинтам органы: квинтовыми переходами вверх и вниз и переносом в одну октаву. Иногда концертные скрипачи используют настройку по чистым квинтам и в настоящее время.

Недостатком является то, что строй получается незамкнутым, с отсутствием энгармонизма, поэтому невозможно делать транспонирование мелодии в другую тональность. Кроме того, в нем, отсутствует чистая терция, так как чистая терция дает интервальный коэффициент 5/4 = 1,25, а за четыре квинтовых перехода удается получить 81/64 = 1,265. Такое несоответствие приводит к биениям, которые ощущаются на слух.

Рис. 10. Мажорное трезвучие

Натуральная "чистая" шкала. Выдающиеся теоретики 16 века Фольяни и Царлино предложили музыкальную шкалу, в которой большая терция сохранялась как основной интервал с соотношением 5:4, чего не было в пифагорийской шкале.

При построении диатонической шкалы в этой системе был применен следующий способ: для сохранения чистых интервалов октавы, квинты и большой терции использовался принцип построения мажорных трезвучий с соотношением частот 4:5:6 (большая терция и чистая квинта) от 1-й, 4-й и 5-й ноты октавы, т.е. примы, кварты и квинты (рисунок 10). Процесс построения такой шкалы можно рассмотреть последовательно.

1. Возьмем как тонику ноту С (до) и построим на ней первое мажорное трезвучие, то есть отложим большую терцию с отношением частот 5:4 (нота Е, ми) и квинту 3:2 (G, соль), получим три ноты с соотношением частот 1:5/4:3/2 = 4:5:6 (надо привести к общему знаменателю) или С:E:G (то есть мажорное трезвучие, построенное на тонике). Отсюда, получим первые интервалы и все другие консонансные интервалы, которые можно на них построить.
2. Берем как доминанту ноту G (соль) и откладываем от нее мажорную терцию (получаем ноту В, си, = 5:4 х 3:2 = 15/8) и квинту (получаем ноту D, ре, = 3/2 х 3/2 = 9/4), то есть опять мажорное трезвучие G:B:D с тем же соотношением частот: 3/2:15/8:9/4 = 4:5:6. Все ноты сводим в одну октаву (делим на 2:1:D = 9/4:2/1 = 9/8).
3. Строим трезвучие на субдоминанте. Для этого можно использовать следующий прием: от верхней ноты С* отложим вниз квинту 2/1:3/2 = 4/3 и получим ноту F (фа) на кварту выше основной ноты С (до).

От этой ноты отложим вверх большую терцию: получим ноту А (ля) с отношением к основной ноте С как А/С = F/С х A/F = 4/3 х 5/4 = 5/3. Таким образом получается еще одно трезвучие F:А:С = 4/3:5/3:2/1 = 4:5:6 (от субдоминанты).

В результате, получается диатоническая шкала с соотношением частот, показанным в таблице 3.

Если двигаться от ноты С большими терциями и квинтами, то можно получить хроматическую гамму (с диезами и бемолями).

Достоинствами этой шкалы является: использование чистой терции, октавы, квинты и кварты; возможность использовать чистые мажорные трезвучия (до-ми-соль, до-фа-ля, ре-соль-си), два чистых минорных трезвучия (ми-соль-си и до-ми-ля) и одно минорное трезвучие вне настройки ре-фа-ля.

При этом попарно можно сформировать на такой шкале 16 консонансных и 10 диссонансных интервалов.

Недостатком является то, что в этой шкале получается два целых тона: мажорный 9/8 и минорный 10/9, и при этом отсутствует энгармонизм (то есть не совпадают диезы и бемоли), в связи с чем невозможно транспонирование по высоте. Поэтому данная шкала не получила широкого распространения.

Равномерно темперированная шкала. Совершенно очевидно, что требовалось создание шкалы, которая была бы построена на некоторой компромиссной основе, обеспечивала бы возможность транспонирования и обладала бы замкнутостью и энгармонизмом. Попытки построить такую шкалу предпринимались в течение длительного периода времени математиками и музыкантами (И. Кеплером, Л. Эйлером, Ж. Совером и др.). Наконец, в конце XVII…начале XVIII веков усилиями теоретиков М. Мерсенна, А. Веркмейстера, И. Нейдгарта, И. Кирнбергера и музыкантов (И. Баха, Д. Скарлатти, Ф. Куперена и др.) она была создана и получила название равномерно темперированной шкалы.

Темперированной она называется потому, что содержит последовательность тонов с математически строго определенными частотными соотношениями (temperare - упорядочивать, приводить в порядок). Разновидности этой шкалы, отличающиеся последовательностью расположения целых тонов и полутонов, называются ладами.

Для того чтобы можно было транспонировать мелодию с сохранением звуковысотных соотношений в любую тональность (например, на октаву вверх или вниз), требовалось создать шкалу, в которой все интервальные коэффициенты были бы одинаковыми, независимо от того, где интервалы располагаются на шкале. Для этого было предложено Пифагорову комму разделить на 12 равных частей и на каждую из этих частей уменьшить все двенадцать квинт (рисунок 7), при этом каждая квинта сократится на 1/108 тона. Такие двенадцать квинт дадут в сумме точно семь октав, при этом совпадут энгармонически равные звуки (диезы и бемоли). Поскольку целый тон получается за два квинтовых перехода, то при уменьшении таким образом каждого целого тона на 1/54, получилось, что в октаве оказывается точно 6 целых тонов. Полутоны хроматические и диатонические при этом совпадают, и в октаве содержится точно 12 полутонов.

Таким образом, чтобы получить интервал, равный октаве, надо сложить двенадцать интервалов, равных полутону. Как уже было сказано выше, при сложении интервалов их интервальные коэффициенты умножаются. Если обозначить интервальный коэффициент (то есть отношения частот) полутона как S, например, S = f_фа /f_ми или S = f_ля#/f_ля и т.д., то для получения октавы надо умножить их друг на друга двенадцать раз: S x S x S… = S¹². Поскольку интервальный коэффициент октавы равен 2:1, то S¹² = 2 и отсюда S = = 1,0595.

Значит интервальный коэффициент полутона в темперированной шкале всегда равен 1,0595.

Например, если нота "ля" имеет частоту 440 Гц, то нота "ля-диез" имеет частоту 440 х 1,0595 = 466,18 Гц. Чтобы в равномерно темперированной шкале получить значение частоты для любой ноты, надо, взяв за основу значение частоты какой-либо ноты, умножить его на S столько раз, на сколько полутонов отличается данная нота от ноты "до". Значения частот для всех нот равномерно темперированной шкалы даны на рисунке 11 .

Рис. 11. Значения частот для всех нот равномерно темперированной шкалы

Для более мелкого деления интервалов в темперированной шкале используется понятие цент, при этом каждый полутон делится на 100 центов. В этом случае интервальный коэффициент цента С определяется следующим образом: С х С х С х С… = С¹⁰⁰ = S, то есть С = = 1.00578.

Следовательно, интервальный коэффициент цента в равномерно темперированной шкале равен 1,000578.

Аналогично тому, как это было сделано выше для определения количества октав в любом интервале частот, можно определить, сколько центов содержится в интервале с заданным интервальным коэффициентом r = f₂/f₁. Для этого надо умножить интервальные коэффициенты всех центов, из которых он состоит, то есть С х С х С… = Сⁿ, и приравнять их к заданному интервальному коэффициенту r = Сⁿ.

Значит, n lgC = lg r, отсюда число центов в любом интервале равно:

N = lg r/lg c = 3,986 lg r.

Например, у чистой квинты r = 3/2, отсюда число центов n = 702; у чистой кварты r = 4/3, и число центов равно 498; у октавы r = 2/1 и число центов равно 1200 и т.д.

В равномерно темперированной шкале октава состоит из 12 полутонов и, следовательно, 1200 центов, квинта из семи полутонов и 700 центов, кварта из пяти полутонов и 500 центов и т.д. Если пересчитать отсюда интервальные коэффициенты для этих интервалов по вышеуказанной формуле, то получится, что интервальный коэффициент квинты равен 1,498, кварты 1,335 и т.д.

Интервальные коэффициенты и количество центов для основных музыкальных интервалов во всех трех рассмотренных выше музыкальных шкалах даны в таблице 4.

Из таблицы видно, что темперированная шкала не обеспечивает ни одного (кроме октавы) чистого интервала: ни квинты (3/2), ни кварты (4/3), ни терции (5/4) и т. д.

Сравнение данных таблицы показывает, что в равномерно темперированной шкале отклонение квинты от точной настройки - два цента, кварты - также два цента, большой терции - 4 цента и т.д. Следует отметить, что отклонения эти достаточно небольшие, хотя все интервалы становятся чуть более диссонансными.

Однако эта шкала представляет собой строй замкнутый и энгармонический, что позволяет транспонировать мелодию. Она состоит из интервалов, вполне приемлемых для слуха как при мелодическом, так и при гармоническом голосоведении, имеет в каждой октаве только двенадцать звуков и поэтому допускает относительно простое устройство инструментов.

Равномерно темперированная шкала используется уже более 300 лет как стандартная для музыкальных инструментов с фиксированной настройкой. Однако эта шкала все время критикуется за отсутствие чистых интервалов (кроме октавы). Были попытки построить темперированный строй из 24 и 48 тонов в октаве. Математически было доказано, что самое близкое приближение к натуральным интервалам мог бы дать 53-тоновый звуковой темперированный строй, однако он практически не был реализован, поскольку только современные компьютерные технологии позволяют создавать шкалы с меньшими интервалами. Попытки построения таких шкал в настоящее время продолжаются.

Многочисленные экспериментальные исследования показали, что при пении и игре на инструментах с нефиксированной настройкой используются частотные отношения в интервалах, отличающихся от равномерно темперированной шкалы, например, проявляется некоторая общая тенденция завышать верхние ноты всех мелодических интервалов.

Стандартная высота тона

Для настройки инструментов в ансамбле уже давно была очевидна необходимость иметь универсальный стандарт высоты тона. Еще в 1619 году Преториус (Praitorius) предложил использовать в качестве эталонной высоты тона (ноты А4 - ля первой октавы) звук с частотой 422,5 Гц. В XVIII веке для настройки ноты "ля" использовались различные частоты, например, в Парижской опере - 404 Гц, для настройки органов в Дрездене - 415 Гц. В 1711 году Джон Шор создал камертон, настроенный на частоту 423,5 Гц. В 1751 году Гендель настроил свой камертон на частоту 422,5 Гц. Эта частота довольно широко использовалась в качестве эталонной в течение XVIII века, хотя были и другие. В 1812 году в Парижской консерватории была предложена как эталонная частота 440 Гц, и в XIX веке она стала довольно широко использоваться при настройке инструментов, хотя были попытки использовать и более высокие частоты, например, для роялей Steinway - 454 Гц, в опере "Ковент Гарден" - 450 Гц. В 1859 году французским правительством была назначена комиссия из ведущих композиторов и музыкантов того времени (Россини, Берлиоз, Мейербер и др.), которая приняла в качестве стандарта значение частоты 435 Гц. В последующие периоды наблюдалось стремление повысить стандартную частоту настройки, по-видимому, в связи с расширением использования медных инструментов в оркестре, которые ярче звучат при более высокой настройке. В 1939 году международная конференция в Лондоне приняла стандарт частоты для высоты тона А4 440 Гц, который является международным эталоном до настоящего времени.

При этом следует отметить, что все время продолжаются попытки повысить стандартную частоту как при настройке роялей (до 444 Гц), так и при настройке оркестров, особенно духовых, до 454 Гц. При исполнении и при записи следует учитывать, что старинные инструменты (скрипки Страдивари, например) и современные отличаются друг от друга по настройке опорного тона почти на полтона.

Для создания тона со стандартной частотой пользуются камертонами, однако в настоящее время стандарт частоты обеспечивается с помощью специальных приборов на кварцевых кристаллах, которые создают звук с частотой 440 Гц с большой точностью. Эталоны стандарта частоты хранятся в специальных учреждениях (например, в Институте метрологии им. Д. Менделеева в Санкт-Петербурге).